在最初自学Fierz恒等式的时候，最困惑我的问题是，Fierz恒等式到底是什么？从2019年夏天开始，我就开始看关于Fierz恒等式的文献，但是因为这一首要问题没有解决，所以一直看得云里雾里，公式的推导可以自己重复出来，但是推导完成之后总是不知道自己刚才所作的事情有什么意义，这样的事情循环往复发生，对学习的积极性打击很大。

现在我已经完成了大四上学期的课程，最近我重新看Fierz恒等式时发现自己的感受和之前迥然不同，感觉一切都连（像元芳一样读一声）起来了，而这恰恰是因为我们在刚过去的这一学期里刚学到的知识。

在刚过去的这一学期，我私以为对我的未来研究生生涯最有用（当然是相对来说）的科目是荷兰人马尚德开设的《原子分子物理导论》，这门课讲了算符的Hilbert空间，而它就成为了我理解Fierz恒等式的关键。

以我个人的理解，Fierz恒等式的定义为：Fierz恒等式是在算符组成的Hilbert空间中的完备性关系的一个推论。

在这一定义的基础上，理解Fierz恒等式的一切都变得简单了。在《原子分子物理导论》中学到的算符空间，Hilbert-Schmidt 内积的概念都可以直接应用，不仅省去了单独理解很多细节的繁琐步骤，而且从此出发建立起来的知识体系更加系统和条理清晰。有次之后，剩下的只需要重复一下比较冗长的计算过程。

当然，在这一过程中还有几个理解上的难点（对我来说），让我花费了比较多的时间，我认为这些困难很大程度上来自于相关文献的笔者们太惜字如金了，更有甚者使用的符号不仅很奇怪，而且有很大的迷惑性，我都怀疑那可能是typo。总之这些问题的根源还是来自于笔者认为我掌握的知识和我实际掌握的知识之间有很大的不对称性，也许这是每一个志于从事物理研究的年轻人的必经之路吧（天才除外）。

上述的定义是广义Fierz恒等式的定义，而手征Fierz恒等式只与广义Fierz恒等式所选的基不同。而对于5种在lorentz变换下表现为标量，即经过内积之后的Fierz恒等式的推导，只是繁琐的计算而已（是真的很繁琐）。